Matemática discreta Ejemplos

${(\frac{2}{3})}^{3 x - 1} > 1$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{3 x - 1}) > \ln (1)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{2}{3})}^{3 x - 1})$ ; para ello, mueve $3 x - 1$ fuera del logaritmo.

$(3 x - 1) \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(3 x - 1) (\ln (2) - \ln (3)) > \ln (1)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $(3 x - 1) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Paso 3.1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(3 x - 1) \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Paso 3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - 1 \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Paso 3.1.3

Reescribe $- 1 \ln (\frac{2}{3})$ como $- \ln (\frac{2}{3})$ .

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) > 0$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) = 0$

Paso 6

Suma $\ln (\frac{2}{3})$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$

Paso 7

Divide cada término en $3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$ por $3 \ln (\frac{2}{3})$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$ por $3 \ln (\frac{2}{3})$ .

$\frac{3 x \ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x \ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 7.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < \frac{1}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < \frac{1}{3}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{1}{3})$

Paso 10